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    旋转飞行器非线性运动稳定性判据

    2006-03-09 《现代防御技术》杂志社xdfyjs

    声明:本文为《现代防御技术》杂志社供《中国军工网》独家稿件。未经许可,请勿转载。

    作者简介:高庆丰(1979-),男,内蒙古呼和浩特人,助工,硕士,主要从事导弹总体技术研究。
    通信地址:100854北京142信箱30分箱
    高庆丰1,刘莉2,陈罗婧2
    (1.中国航天科工集团公司 二院二部,北京100854;2.北京理工大学 飞行器工程系,北京100081)

    摘要:在弹体坐标系和准弹体坐标系中建立了旋转飞行器角运动数学模型。应用李亚普诺夫第一近似理论和劳斯-霍尔维茨方法导出了旋转飞行器的非线性运动稳定性判据,这个判据可应用于有控旋转导弹的运动稳定性分析,也可应用到炮弹和火箭弹上。
    关键词:旋转飞行器;非线性;稳定性
    中图分类号:V412;TJ415;O242.2 TJ7611+3;文献标识码:A文章编号:1009086X(2006)01001905

    Criteria for the nonlinear dynamic stability of rotative vehicles
    GAO Qingfeng1,LIU Li2,CHEN Luojing2
    (1.The Second System Design Department of the Second Research Academy of CASIC,Beijing 100854,China;
    2.Beijing Institute of Technology,Department of Flight Vehicle Engineering,Beijing 100081,China)

    Abstract:The angular motion mathematical model of rotative vehicles is established in the body coordinate system and the quasibody coordinate system.Criteria for the nonlinear dynamic stability of rotative vehicles are derived by the Liapunov′s first method and the RouthHurwitz stability criterion,this criteria can be applied to the dynamic stability analysis of controlled rotative missiles,projectiles and rockets.
    Key words:Rotative vehicle;Nonlinear;Stability

    1引言
    旋转飞行器是指在飞行过程中,绕其纵轴自旋的一类飞行器,通常包括小型防空导弹、反坦克导弹、炮弹和火箭弹等。
    反坦克导弹有无控的起始飞行段,对这类导弹进行设计时,要对其弹体的动态特性提出稳定性要求。如果用经典的方法设计制导系统,也往往首先要研究弹体稳定性问题。而对于炮弹和火箭弹,运动稳定性更是首要的[1]。
    2符号说明
    a1,b1为与升力和侧向力有关的动力系数;a2,b2为与马格努斯力有关的动力系数;a3,b3为与俯仰力矩和偏航力矩有关的动力系数;a4,b4为与马格努斯力矩有关的动力系数;a5,b5为与阻尼力矩有关的动力系数;a6,b6为与转速有关的动力系数;α,β为弹体坐标系中的攻角和侧滑角;αf,βf准弹体坐标系中的攻角和侧滑角;ωz1,ωy1为弹体坐标系中的俯仰和偏航角速度;ωzf,ωyf为准弹体坐标系中的俯仰和偏航角速度;P0为发动机推力;q为动压;S为参考面积;L为参考长度;m为质量;v为速度;ωx为弹体绕纵轴的旋转角速度;ξ~为复攻角;cαy,cα3y为线性和立方升力系数导数;cαz,cα3z为线性和立方侧向力系数导数;cβy,cβz为气动交叉力系数导数;mαz,mα3z为线性和立方俯仰力矩系数导数;mβy,mβ3y为线性和立方偏航力矩系数导数;mαy,mβz为马格努斯力矩系数导数;mωzz,mωyy为俯仰阻尼和偏航阻尼力矩系数;Jx,Jy,Jz为相对弹体坐标系各轴的转动惯量;t为时间;s为弹道弧长;σ为稳定性系数。
    3旋转飞行器角运动数学模型
    有一类小型防空导弹,弹体在飞行中以一定的角速度绕自身纵轴旋转,采用单通道控制,由一对舵面同时控制导弹的俯仰运动和偏航运动,因此其气动外形是面对称的。
    为了便于讨论,建立与弹体固联的弹体坐标系Ox1y1z1和不随弹体旋转的准弹体坐标系Oxfyf zf,它们都以弹体质心为坐标原点,弹体坐标系Ox1轴与弹体纵轴重合,向前为正,Oy1轴垂直于Ox1轴及舵轴。Oz1轴与Ox1轴和Oy1轴形成右手系。准弹体坐标系Oxf轴与Ox1轴重合,Oyf 轴垂直于Oxf 轴指向上,Ozf 轴与Oxf 轴和Oyf轴形成右手系。
    现代防御技术·导弹技术高庆丰,刘莉,陈罗婧:旋转飞行器非线性运动稳定性判据现代防御技术2006年第34卷第1期忽略重力的影响,以弹体坐标系表征的自由运动中力和力矩的平衡方程分别为[2]α·
    β·+a1〖〗a2+ωx
    -(b2+ωx)〖〗b1α
    β-ωz1
    ωy1=0,(1)
    ω·z1
    ω·y1=a3〖〗a4
    -b4〖〗b3α
    β+
    ωx-a6〖〗a5
    b5〖〗-(b6-ωx)ωy1
    ωz1,(2)式(1)和式(2)中:a1=[P0+qS(cαy+cα3yα2)]/mv, b1=[P0-qS(cαz+cα3zα2)]/mv,
    a2=qScβz/mv, b2=qScβy/mv,
    a3=qSL(mαz+mα3z)/Jz, b3=qSL(mβy+mβ3y)/Jy,
    a4=qSLmαy/Jz, b4=qSLmβz/Jy,
    a5=qSL2mωzz/Jzv, b5=qSL2mωyy/Jyv,
    a6=(Jx/Jz)ωx, b6=(Jx/Jy)ωx 通过坐标变换,以准弹体坐标系表征的自由运动中力和力矩的平衡方程分别为[2]ω·yf
    ω·zf+-(a5+b5)〖〗2+(a6-b6)〖〗2sin(2ωxt)+(a5-b5)〖〗2cos(2ωxt)〖〗(a6+b6)〖〗2+(a5-b5)〖〗2sin(2ωxt)-(a6-b6)〖〗2cos(2ωxt)
    -(a6+b6)〖〗2+(a5-b5)〖〗2sin(2ωxt)+(a6-b6)〖〗2cos(2ωxt)〖〗-(a5+b5)〖〗2+(b6-a6)〖〗2sin(2ωxt)+(a5-b5)〖〗2cos(2ωxt)
    ωyf
    ωzf+(a4+b4)〖〗2+(a3-b3)〖〗2sin(2ωxt)-(a4-b4)〖〗2cos(2ωxt)〖〗-(a3+b3)〖〗2-(b3-a3)〖〗2cos(2ωxt)
    -(a3+b3)〖〗2-(a3-b3)〖〗2cos(2ωxt)〖〗-(a4+b4)〖〗2+(a3-b3)〖〗2sin(2ωxt)-(a4-b4)〖〗2cos(2ωxt)αf
    βf=0,(3)
    α·f
    β·f+(a1+b1)〖〗2-(b1-a1)〖〗2cos(ωxt)〖〗(a2+b2)〖〗2+(b1-a1)〖〗2sin(2ωxt)+(a2-b2)〖〗2cos(2ωxt)
    -(a2+b2)〖〗2+(b1-a1)〖〗2sin(2ωxt)-(a2-b2)〖〗2cos(2ωxt)〖〗(a1+b1)〖〗2-(b1-a1)〖〗2cos(ωxt)·
    αf
    βf+0-1
    -10ωyf
    ωzf=0 (4)对于面对称导弹,由于a1≠b1,a2≠b2,a3≠b3,a4≠b4,a5≠b5,a6≠b6,因而含有sin(2ωxt)和cos(2ωxt)项的系数不为0,角频率为2ωx的摆动将不可避免的存在,考虑到摆动的幅值不大,且在弹体旋转一周所产生的平均效应为0。因此,当弹体旋转频率远大于弹体扰动运动频率时,完全可把含sin(2ωxt)和cos(2ωxt)的项略去不计[2]。所以,式(3)可变为式(5),式(4)可变为式(6)。ω·yf
    ω·zf=a5+b5〖〗2〖〗-(a6+b6)〖〗2
    a6+b6〖〗2〖〗a5+b5〖〗2ωyf
    ωzf+-(a4+b4)〖〗2〖〗a3+b3〖〗2
    a3+b3〖〗2〖〗-(a4+b4)〖〗2αf
    βf,(5)
    α·f
    β·f+a1+b1〖〗2〖〗a2+b2〖〗2
    -(a2+b2)〖〗2〖〗a1+b1〖〗2αf
    βf+0〖〗-1
    -1〖〗0ωyf
    ωzf=0 (6)对式(6)求导,可得ω·yf
    ω·zf=β¨f
    α¨f+-(a2+b2)〖〗2〖〗a1+b1〖〗2
    a1+b1〖〗2〖〗a2+b2〖〗2α·f
    β·f,(7)令式(5)和式(7)右端相等,同时代入式(6)可得α¨f+(a1+b1)-(a5+b5)〖〗2α·f-(a3+b3)〖〗2+(a1+b1)(a5+b5)〖〗4-(a2+b2)(a6+b6)〖〗4αf-
    -(a2+b2)+(a6+b6)〖〗2β·f-(a4+b4)〖〗2+(a1+b1)(a6+b6)〖〗4+(a2+b2)(a5+b5)〖〗4βf=0,(8)
    β¨f+(a1+b1)-(a5+b5)〖〗2β·f-(a3+b3)〖〗2+(a1+b1)(a5+b5)〖〗4-(a2+b2)(a6+b6)〖〗4βf+
    -(a2+b2)+(a6+b6)〖〗2α·f+(a4+b4)〖〗2+(a1+b1)(a6+b6)〖〗4+(a2+b2)(a5+b5)〖〗4αf=0 (9)将式(8)乘以虚数i再与式(9)相加,可得复数表达式ξ~¨+(A-iB)ξ~·-(C+iD)ξ~=0,(10)式(10)中,定义A=[(a1+b1)-(a5+b5)]/2,
    B=[-(a2+b2)+(a6+b6)]/2,
    C=(a3+b3)/2+(a1+b1)(a5+b5)/4-(a2+b2)(a6+b6)/4,
    D=(a4+b4)/2+(a1+b1)(a6+b6)/4+(a2+b2)(a5+b5)/4,
    ξ~=βf+iαf 式(10)为复攻角在t域的微分方程。
    由于式(10)的系数与速度有关,这是一变系数微分方程,为使t域角运动微分方程系数的时变性减弱,对式(10)进行数学变换,有[3]df(x)〖〗dt=df(x)〖〗dsds〖〗dt=vdf(x)〖〗ds,
    df(x)2〖〗d2t=v2df(x)2〖〗d2s+v·df(x)〖〗ds (11)应用式(11),将式(10)变为ξ~″+[(v·/v+A-iB)/v]ξ~′-
    (1/v)2(C+iD)ξ~=0,(12)式(12)中,定义H=(v·/v+A)/v,
    P=B/v,
    M=C/v2,
    PT=D/v2,式(12)可写为ξ~″+(H-iP)ξ~′-(M+iPT)ξ~=0 (13)式(13)为复攻角在s域的微分方程,将H,P,M,PT展开,并忽略气动交叉项的影响,J=Jy≈Jz,可得H(α2)=ρS〖〗2m(cαy+cα3yα2)-(cαz+cα3zα2)〖〗2-mL2〖〗J(mωzz+mωyy)〖〗2-cx-2mgsin θ〖〗ρSv2+4P0〖〗ρSv2,
    M(α2)=ρSL〖〗2J(mαz+mα3zα2)+(mβy+mβ3yα2)〖〗2+P0L〖〗mv2(mωzz+mωyy)〖〗2-Jxωx〖〗mvL(cβy+cβz)〖〗2,
    P=Jx〖〗Jωx〖〗v,
    T(α2)=ρSLv〖〗4Jxωx(mαy+mβz)+ρS〖〗4m[(cαy+cα3yα2)-(cαz+cα3zα2)]+P0〖〗mv2 反坦克导弹、炮弹和火箭弹为轴对称旋转飞行器,轴对称旋转飞行器是面对称旋转飞行器的特例。对于轴对称旋转飞行器,有a1=b1,a2=b2,a3=b3,a4=b4,〖〗a5=b5,a6=b6,复攻角在s域的微分方程也为ξ~″+(H-iP)ξ~′-(M+iPT)ξ~=0,(14)式(14)中:H(α2)=ρS〖〗2m(cαy+cα3yα2)-mL2〖〗Jmωzz-cx-2mgsin θ〖〗ρSv2+4P0〖〗ρSv2,
    M(α2)=ρSL〖〗2J(mαz+mα3zα2)+P0L〖〗mv2mωzz-Jxωx〖〗mvLcβz,
    P=Jx〖〗Jωx〖〗v,
    T(α2)=ρSLv〖〗2Jxωxmαy+ρS〖〗2m(cαy+cα3yα2)+P0〖〗mv2 4旋转飞行器运动稳定性判据
    复攻角非线性微分方程(13)在实数域的攻角非线性微分方程组为α″f+H(α2)α′f-M(α2)αf+Pβ′f+PT(α2)βf=0,
    β″f+H(α2)β′f-M(α2)βf-Pα′f-PT(α2)αf=0 (15)非线性微分方程组(15)是一个含有3个非线性函数,1个常数的四阶微分方程组,判断其解的稳定性十分困难[4]。应用李亚普诺夫第一近似理论,对于非线性微分方程组,如果其线性化微分方程组之特征方程的所有特征根均有负实部,则非线性微分方程组的原点渐进稳定[5]。所以,可通过线性化

    微分方程组的稳定性来判断非线性微分方程组的稳定性。非线性微分方程组(15)的线性化微分方程组为α″f+Hα′f-Mαf+Pβ′f+PTβf=0,
    β″f+Hβ′f-Mβf-Pα′f-PTαf=0,(16)式(16)中:H=ρS〖〗2m(cαy-cαz)〖〗2-mL2〖〗J(mωzz+mωyy)〖〗2-cx-2mgsin θ〖〗ρSv2+4P0〖〗ρSv2,
    M=ρSL〖〗2J(mαz+mβy)〖〗2+P0L〖〗mv2(mωzz+mωyy)〖〗2-Jxωx〖〗mvL(cβy+cβz)〖〗2,
    P=Jx〖〗Jωx〖〗v,
    T=ρSLv〖〗4Jxωx(mαy+mβz)+ρS〖〗4m(cαy-cαz)+P0〖〗mv2 
    首先,通过数学变换(11),微分方程组(16)的系数时变性减弱了。其次,采用系数冻结法,在不长的弹道区间内,微分方程组(16)的系数可视为常数。所以,线性化微分方程组(16)可看作线性定常系统,其特征方程为λ4+h1λ3+h2λ2+h3λ+h4=0,(17)式(17)中:h1=2H;h2=P2+H2-2M;h3=2(P2T-MH);h4=M2+(PT)2。
    由劳斯-霍尔维茨方法可知,特征方程(17)全部根的实部都为负值的充要条件是下列条件成立[6]:h1>0,h2>0,h3>0,h4>0,
    h1h2-h3>0,
    h1h2-h3>h21h4/h3 (18)根据条件(18),代入hi关系式后,整理可得H>0,
    P2T-MH>0,
    (P2+H2/P2)[H(P2T-MH)-(PT)2]>0 (19)式(19)中,第二式由第一、第三式成立而自然满足,与式(19)等价的条件变为H>0,
    H(P2T-MH)-(PT)2>0 (20)式(20)中的第二式可化为0<σ=(2PT-PH)2〖〗H2(P2-4M)<1 (21) 所以,面对称旋转飞行器运动稳定性判据为0<σ<1,由σ不仅可判断是否满足运动稳定性判据,而且能够反映出稳定性的好坏,σ越小,稳定性越好[7]。同理,可得到轴对称旋转飞行器的运动稳定性判据也为0<σ=(2PT-PH)2〖〗H2(P2-4M)<1,(22)式(22)中:

    H=ρS〖〗2mcαy-mL2〖〗Jmωzz-cx-2mgsin θ〖〗ρSv2+4P0〖〗ρSv2,
    M=ρSL〖〗2Jmαz+P0L〖〗mv2mωzz-Jxωx〖〗mvLcβz,
    P=Jx〖〗Jωx〖〗v,
    T=ρSLv〖〗2Jxωxmαy+ρS〖〗2mcαy+P0〖〗mv2 
    5结束语
    本文得到的旋转飞行器非线性运动稳定性判据具有很强的通用性,对面对称和轴对称的旋转飞行器都是适用的,不但适合于分析旋转导弹和主动段火箭弹,也适合于分析炮弹和被动段火箭弹。
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    [4]张士峰.多元验前信息的融合方法[J].飞行器测控学报,2000,19(1):26-302006年2月〖〗第34卷第1期现代防御技术〖〗MODERN DEFENCE TECHNOLOGYFeb.




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